以頻率計數器來看 Undersampling

想像一下你現在有一套嵌入式系統軟硬體，你只能偵測外部輸入是高或低電位（也就是 GPIO），你要測量外部的方波的頻率，你要怎麼達成呢？我想你能夠達成的就是，固定時間，比方說每隔 1 µs 「偵測」一次訊號位準是高或低，然後標定由低變高以及由高變低的地方，並且計算這個「由低變高」的週期，再轉換成頻率吧？你還能想到更簡單精準的方式嗎？歡迎來挑戰。

由圖 1 可以計算頻率，圖中黑色的方波是你要計算頻率的波形，而橘色的方波代表了你讀取外部 GPIO 值的時間點，綠色就是讀取到的值。\(T_0\) 是要計算的方波週期，從圖上的格子點來計算（假設一格式 1 µs），是 16 µs，\(T_s\) 是讀取 GPIO 的週期，是 4 µs，計算出來的頻率週期是 \(T_c\), 是 16 µs，就是訊號「看起來變回一週期同樣位置的」週期（為什麼強調這一點？因為要真正計算頻率，也是有點技巧的，這技巧叫做 frequency estimation，有機會再講，你的大腦比數學公式強多了，呵呵）

這裡 \(T_0 = T_c = 16 \mu s\) , 咦？可以精確的計算出來方波頻率呢。

我們改用頻率來看這些數值 \(F_0 = F_c = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_c} = 62500 Hz = 62.5 kHz, F_s = \frac{1}{T_s} = 250000 Hz = 250 kHz\)

啊，這就是取樣啊，取樣就是這麼單純的一件事。「用同樣的頻率去觀察這個世界」，就是取樣的基本意義。上一篇文章「淺談取樣定理」就是在闡述這件事，所以，用固定的週期，去觀察 GPIO 的值，你說他跟取樣定理沒關係嗎？錯啦，他就是取樣定理的一個應用，所以取樣定理的 Nyquist rate 一樣會應用在這個過程中。所以 \(F_s \ge 2 * F_c\) 所以可以成功的取樣完整的訊號，等等，好像哪裡不對吧？先別說這個了，我們來看萬一你的計數頻率低於要偵測的頻率怎麼辦。

如果你要計數的頻率低於要偵測的頻率，會發生什麼事呢？按照前面的流程，我們就畫一下波形來看看。

圖 2 就是 undersampling 的情況，一樣黑色方波是要計算頻率的波形，而橘色方波代表讀取外部 GPIO 值的時間點，綠色就是讀到的值。

\(T_0 = 4 \mu s, T_s = 6 \mu s, T_c = 12 \mu s\)

換算成頻率

\(F_0 = 250 kHz, F_s = 166.667 kHz, F_c = 83.333 kHz\)

哇，你說這怪怪的吧，我原本的頻率是 250 kHz，取樣後變成 83.333 kHz，你說，啊對，因為低於 Nyquist rate，所以無法取樣到正確的頻率，所以把這個資訊丟棄吧！不，這個資訊還是有用的，這個是低於 Nyquist rate 的時候，會看到的現象。在這裡，因為你在方波的正緣與負緣都取樣，所以其實真正的取樣率 \(F_s = 333.333 kHz\), 這就是上一節怪怪的地方（有看出來嗎？）我為什麼這麼做呢？因為在某些數位的計數器就是這麼做的，正緣與負緣都偵測一次，如果值改變了，就累計一次，沒改變就不累計。這種情況下的取樣頻率你要乘以二。

好啦，重點來了， \(F_s - F_0 = 333.333 - 250 = 83.333 kHz\), 這巧合吧，你說。再次有圖有真相，我們來畫圖。

圖 3 是我們常見的取樣圖形化分析方式¹, \(F_0\) 是你觀察的訊號，他的頻率高於 \(\frac{F_s}{2}\) 。取樣後我們能看到的頻率範圍只有橘色所框住的 \([-\frac{F_s}{2}, \frac{F_s}{2}]\) 而已，所以高於 \(\frac{F_s}{2}\) 的我們就畫一條水平線，看他與橘色範圍的三角形交叉的點在哪裡，計算其頻率，那就是你取樣後的頻率。在我們這個例子中可以看到 \(F_c < 0\), 計算出來是 \(F_c = F_0 - F_s = 250 - 333.333 = -83.333 kHz\), 先不看正負號，週期跟圖 2 算出來是一樣的吧？負號只是影響相位而已，不影響頻率。

筆者發現每次寫部落格文章，最頭痛的就是畫出那精美的圖形，本來用 Python matplotlib 已經夠簡單了，不過還是要花點時間，所以部落格文章發表都拖很久，從這篇文章開始，筆者改用手繪！讓大家看到我醜醜的手寫字真是有點不好意思，不過這樣子可以發文章發得比較快一些。本篇就是承襲上一篇文章的取樣定理，在嵌入式系統或是數位設計常常會遇到的計數器問題上舉個例子，讓大家看看取樣定理是怎麼應用的，其實很常見啊，不是只有你在接收 ADC 傳進來的資料才會遇到喔！希望大家喜歡今天的文章！